Question

正四面体ABCD的棱长为a，E、F分别是AD、BC的中点，
（1）求异面直线EF与CD所成的角；
（2）求D点到平面EBC的距离．

Answer 1

分析：（1）取AC的中点G，连接EG，FG，则∠GEF即为异面直线EF与CD所成的角，解三角形GEF，即可求出异面直线EF与CD所成的角；
（2）连接BE，CE，根据“等边三角形三线合一”的性质，及线面垂直的判定定理，可得AD⊥平面BCE，则DE长即为D到平面EBC的距离．

解答：解：（1）取AC的中点G，连接EG，FG，
根据三角形的中位线定理，可得GE∥CD
则∠GEF即为异面直线EF与CD所成的角
∵正四面体ABCD的棱长为a，
∴GE=FG=

a

2

，EF=a
则∠GEF=

π

4

（2）连接BE，CE，
由于E是AD的中点，易得CE⊥AD，BE⊥AD
由BE∩CE=E，得AD⊥平面BCE
则D点到平面EBC的距离等于AD的一半，即

a

2

点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，点到平面的距离，其中（1）的关键是求出异面直线的平面角，（2）的关键是求出D点到平面BCE的垂线段．