Question

已知双曲线焦点在x轴上、中心在坐标原点O，左、右焦点分别为F₁、F₂，P为双曲线右支上一点，且|

F1F2

|=

4

3

|

F2P

|，∠F₁F₂P=90°．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）若过F₁且斜率为1的直线l与双曲线的两渐近线分别交于A、B两点，△AOB的面积为8

3

，求双曲线的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)，|

F1F2

|=2c，由|

F1F2

|=

4

3

|

F2P

|，∠F₁F₂P=90°及勾股定理得|

F1P

|=

5

2

c，由此能求出双曲线的离心率．
（Ⅱ）由e2=1+

b2

a2

=4，知

b2

a2

=3，双曲线的两渐近线方程为y=±

3

x．设l的方程为y=x+c，l与y轴的交点为M（0，c）．若l与y=

3

x交于点A，l与y=-

3

x交于点B，由

y=x+c y= 3x

，得A(

c

3 -1

，

3 c

3 -1

)；由

y=x+c y=- 3 x

，得B(

-c

3 +1

，

3 c

3 +1

)，再由S△AOB=

1

2

•|OM|•|xA-xB|=

3

2

c2=8

3

，能求出双曲线方程．

解答：解：（Ⅰ）设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，(a＞0，b＞0)，|

F1F2

|=2c，
由|

F1F2

|=

4

3

|

F2P

|，∠F₁F₂P=90°及勾股定理得|

F1P

|=

5

2

c，
由双曲线定义得 2a=|

PF1

|-|

PF2

|=

5

2

c-

3

2

c=c．
则e=

c

a

=2．
（Ⅱ）∵e2=1+

b2

a2

=4，∴

b2

a2

=3，双曲线的两渐近线方程为y=±

3

x．
由题意，设l的方程为y=x+c，l与y轴的交点为M（0，c）．
若l与y=

3

x交于点A，l与y=-

3

x交于点B，
由

y=x+c y= 3x

，得A(

c

3 -1

，

3 c

3 -1

)；由

y=x+c y=- 3 x

，得B(

-c

3 +1

，

3 c

3 +1

)，
S△AOB=

1

2

•|OM|•|xA-xB|
=

1

2

•c•|

c

3 -1

-

-c

3 +1

|
=

3

2

c2=8

3

，
∴c=4，
∴a=2，则b=2

3

，
故双曲线方程为

x2

4

-

y2

12

=1．

点评：本题考查双曲线的离心率和双曲线方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用双曲线的性质，合理地进行等价转化．