题目内容

已知双曲线焦点在x轴上、中心在坐标原点O，左、右焦点分别为F₁、F₂，P为双曲线右支上一点，且 $数学公式$ ，∠F₁F₂P=90°．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）若过F₁且斜率为1的直线l与双曲线的两渐近线分别交于A、B两点，△AOB的面积为 $数学公式$ ，求双曲线的方程．

解：（Ⅰ）设双曲线方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ，∠F₁F₂P=90°及勾股定理得 $\text{[math]}$ ，
由双曲线定义得 $\text{[math]}$ ．
则 $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，双曲线的两渐近线方程为 $\text{[math]}$ ．
由题意，设l的方程为y=x+c，l与y轴的交点为M（0，c）．
若l与y= $\text{[math]}$ 交于点A，l与y=- $\text{[math]}$ 交于点B，
由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ；由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ，
∴c=4，
∴a=2，则 $\text{[math]}$ ，
故双曲线方程为 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）设双曲线方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，∠F₁F₂P=90°及勾股定理得 $\text{[math]}$ ，由此能求出双曲线的离心率．
（Ⅱ）由 $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ ，双曲线的两渐近线方程为 $\text{[math]}$ ．设l的方程为y=x+c，l与y轴的交点为M（0，c）．若l与y= $\text{[math]}$ 交于点A，l与y=- $\text{[math]}$ 交于点B，由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ；由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，再由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，能求出双曲线方程．
点评：本题考查双曲线的离心率和双曲线方程的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，灵活运用双曲线的性质，合理地进行等价转化．