Question

已知椭圆的两个焦点，过F₁且与坐标轴不平行的直线l₁与椭圆相交于M，N两点，如果△MNF₂的周长等于8．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点（1，0）的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E（m，0），使恒为定值？若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）由题意知c=，4a=8，∴a=2，b=1
∴椭圆的方程为=1
（II）当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，
则l的方程为y=k（x﹣1），
消去y得（4k²+1）x²﹣8k²x+4k²﹣4=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则由韦达定理得，
则，
∴
=m²﹣m（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂
=m²﹣m（x₁+x₂）+x₁x₂+k²（x₁﹣1）（x₂﹣1）=
=
要使上式为定值须，
解得
∴为定值
当直线l的斜率不存在时由
可得
∴=
综上所述当时，为定值．