Question

已知向量a="(1,2),b=(cos" α,sin α),设m=a+tb(t为实数).
(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值;
(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b和向量m夹角的余弦值为,若存在,请求出t;若不存在,请说明理由.

Answer 1

(1)      (2) 存在t=1或t=-7满足条件

解析解:(1)因为α=,
所以b=,a·b=,
则|m|=
=
=
=,
所以当t=-时,|m|取到最小值,最小值为.
(2)存在实数t满足条件,理由如下:
由条件得=,
又因为|a-b|==,
|a+tb|==,
(a-b)·(a+tb)=5-t,
所以=,且t<5,
整理得t²+6t-7=0,
所以存在t=1或t=-7满足条件.