Question

已知抛物线C：y²=4x，点M（m，0）在x轴的正半轴上，过M的直线l与C相交于A、B两点，O为坐标原点．
（I）若m=1，且直线l的斜率为1，求以AB为直径的圆的方程；
（II）问是否存在定点M，不论直线l绕点M如何转动，使得恒为定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题意得M（1，0），直线l的方程为y=x-1与抛物线方程联立，利用韦达定理，可得圆心坐标与圆的半径，从而可得圆的方程；
（II）若存在这样的点M，使得为定值，直线l：x=ky+m与抛物线方程联立，计算|AM|，|BM|，利用恒为定值，可求点M的坐标．
解答：解：（I）设A，B两点坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点P的坐标为P（x，y），
由题意得M（1，0），直线l的方程为y=x-1．（2分）
由可得x²-6x+1=0，
则x₁+x₂=6，x₁•x₂=1，∴．（4分）
故圆心为P（3，2），直径．
∴以AB为直径的圆的方程为（x-3）²+（y-2）²=16．（6分）
（II）若存在这样的点M，使得为定值，直线l：x=ky+m．
由，∴y²-4ky-4m=0，∴y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4m．
又∵，
∴=，（13分）
因为要与k无关，只需令，即m=2，进而．
所以，存在定点M（2，0），不论直线l绕点M如何转动，恒为定值．
点评：本题考查圆的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，联立方程，正确运用韦达定理是关键．