Question

18．求矩阵M=$[{\begin{array}{l}0&0\\ 0&1\end{array}}]$的特征值和特征向量．

Answer 1

分析 求得矩阵M的特征多项式f（λ），令f（λ）=0，求得M的特征值，分别将特征值代入二元一次方程组，即可求得其特征向量．

解答 解：矩阵M的特征多项式为$f（λ）=|{\begin{array}{l}λ&0\\ 0&{λ-1}\end{array}}|=λ（λ-1）$，
令f（λ）=0，解得M的特征值λ₁=0，λ₂=1．（4分）
将λ₁=0代入二元一次方程组$\left\{\begin{array}{l}λx-0•y=0\\-0•x+（λ-1）y=0\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}x∈R，且x≠0\\ y=0\end{array}\right.$
所以矩阵M的属于特征值0的一个特征向量为$[{\begin{array}{l}1\\ 0\end{array}}]$；（7分）
同理，将λ₂=1代入①解得$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y∈R，且x≠0\end{array}\right.$
所以矩阵M的属于特征值1的一个特征向量为$[{\begin{array}{l}0\\ 1\end{array}}]$．（10分）

点评 本题考查特征值和特征向量的求法，考查计算能力，属于基础题．