Question

在平面直角坐标系中，已知点，点B在直线上运动，过点B与l垂直的直线和AB的中垂线相交于点M．
（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设点P是轨迹E上的动点，点R，N在y轴上，圆C：（θ为参数）内切于△PRN，求△PRN的面积的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），由题设知|MB|=|MA|，然后根据抛物线的定义可求出动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设P（x，y），R（0，b），N（0，c），且b＞c，求出直线PR的方程，消去参数θ，得圆的一般方程，然后根据圆心（1，0）到直线PR的距离为1，建立等式关系，化简变形可知，b，c为方程（x-2）x²+2yx-x=0的两根，根据求根公式求出b-c，而△PRN的面积为，最后利用基本不等式求出最小值即可．
解答：解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），由题设知，|MB|=|MA|．
所以动点M的轨迹E是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为y²=2x．（4分）
（Ⅱ）设P（x，y），R（0，b），N（0，c），且b＞c，
故直线PR的方程为（y-b）x-xy+xb=0．
由消去参数θ，得（x-1）²+y²=1．（6分）
由题设知，圆心（1，0）到直线PR的距离为1，即 ．
注意到x＞2，化简上式，得（x-2）b²+2yb-x=0，同理可得（x-2）c²+2yc-x=0．
由上可知，b，c为方程（x-2）x²+2yx-x=0的两根，根据求根公式，
可得．（10分）
故△PRN的面积为，
等号当且仅当x=4时成立．此时点P的坐标为或．
综上所述，当点P的坐标为或时，△PRN的面积取最小值8．（13分）
点评：本题主要考查直线，圆，抛物线，函数以及参数方程等基础知识，同时考查运算能力以及分析问题和解决问题的能力．