Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）若，且方程在区间内有解，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 极小值为，极大值为. (Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）将a＝b＝1代入函数f（x）的解析式，求函数f（x）的导数f′（x），求出极值点，并分析函数f（x）的单调性，即可确定函数的极大值和极小值；

（Ⅱ）由f（1）＝1，得b＝e﹣1﹣a，再由f（x）＝1，得ex＝ax2+bx+1，构造函数g（x）＝ex﹣ax2﹣bx﹣1，分析函数g（x）在区间（0，1）上的单调性，结合函数g（x）的极值正负确定方程f（x）＝1在区间（0，1）内有解的等价条件，从而构造不等式求出实数a的取值范围．

（Ⅰ），当时，，

，得，∴在上单调递增；

，得或，∴在和上单调递减.

∴的极小值为，极大值为.

（Ⅱ）由得，由得，

设，则在内有零点，设为在内的一个零点，

由知在和不单调.

设，则在和上均存在零点，即在上至少有两个零点.

，，

当时，，在上递增，不可能有两个及以上零点，

当时，，在上递减，不可能有两个及以上零点，

当时，令得，

∴在上递减，在上递增，在上存在最小值，

若有两个零点，则有，，，

，，

设，，则，令，得，

当时，，递增；当时，，递减.

∴，∴恒成立.

由，，得.