Question

已知命题p：点P的坐标为（x，y），点F₁、F₂的坐标分别是（-1，0）、（1，0），命题q：直线PF₁、PF₂的斜率分别是k₁、k₂，k₁•k₂=m（m∈R），p∧q真．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）指出点P的轨迹类型（如圆、抛物线、直线等）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出直线PF₁、PF₂的斜率，利用k₁•k₂=m，化简即可求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）对m分类讨论，即可求得点P的轨迹类．

解答：解：（Ⅰ）由题意得，k1=

y

x+1

，k2=

y

x-1

，
∵k₁•k₂=m（m∈R），∴

y

x+1

•

y

x-1

=m，
所以所求轨迹方程是：mx²-y²=m（m∈R，x≠±1）．…4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）点P的轨迹方程为mx²-y²=m（m∈R，x≠±1），
当m＜0且m≠-1时，方程可化为　x2+

y2

-m

=1（x≠±1），∴P的轨迹是椭圆（除去与x相交的项点）；
当m=-1时，方程x²+y²=1（x≠±1），∴P的轨迹是圆（除去与x的交点）；
当m=0时，方程是y=0（x≠±1），∴P的轨迹是x轴（除去（-1，0）和（1，0）两点）；
当m＞0时，方程可化为x2-

y2

m

=1（x≠±1），∴P的轨迹是双曲线（除去项点）…12分．

点评：本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．