Question

在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：（a＞0）与x轴的正半轴交于点P．点Q的坐标为（3，3），=6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q且斜率为的直线交椭圆C于A、B两点，求△AOB的面积．

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，点P坐标为（a，0）．　（1分）
∵，点Q坐标为（3，3），
∴3a+3×0=6，解得a=2．（3分）
∴椭圆C的方程为．（4分）
（Ⅱ）方法一：过点Q（3，3）且斜率为的直线AB方程为y-3=，
即3x-2y-3=0．（5分）
设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由，消去x并整理得，8y²+12y-27=0．（6分）
∴，，（7分）
∴==，
∴．（9分）
∵直线AB与x轴的交点为M（1，0），
∴△AOB的面积S_△AOB=S_△OMA+S_△OMB
=|OM|•（|y₁|+|y₂|）
=
=．（12分）
方法二：过点Q（3，3）且斜率为的直线AB方程为y-3=，
即3x-2y-3=0．（5分）
设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由，消去y，并整理得2x²-2x-3=0，（6分）
∴，，（7分）
∴|AB|=
==，（9分）
∵点O到直线AB的距离d==，（10分）
∴△AOB的面积S_△AOB===．（12分）
分析：（Ⅰ）点P坐标为（a，0），由，知点Q坐标为（3，3），由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）法一：过点Q（3，3）且斜率为的直线AB方程为y-3=，设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由得，8y²+12y-27=0.，，，由此能求出△AOB的面积．
法二：过点Q（3，3）且斜率为的直线AB方程为y-3=，设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由，得2x²-2x-3=0，，，|AB|==，点O到直线AB的距离d==，由此能求出△AOB的面积．
点评：本题考查椭圆方程的求法和求三角形面积．具体涉及到椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答．