Question

（2012•福州模拟）在直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

9

=1（a＞0）与x轴的正半轴交于点P．点Q的坐标为（3，3），

OP

×

OQ

=6．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q且斜率为

3

2

的直线交椭圆C于A、B两点，求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）点P坐标为（a，0），由

OP

•

OQ

=6，知点Q坐标为（3，3），由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）法一：过点Q（3，3）且斜率为

3

2

的直线AB方程为y-3=

3

2

(x-3)，设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由

x2 4 + y2 9 =1 3x-2y-3=0

得，8y²+12y-27=0.y1+y2=-

3

2

，y1y2=-

27

8

，|y1-y2|=

3 7

2

，由此能求出△AOB的面积．
法二：过点Q（3，3）且斜率为

3

2

的直线AB方程为y-3=

3

2

(x-3)，设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由

x2 4 + y2 9 =1 3x-2y-3=0

，得2x²-2x-3=0，x1=

1+ 7

2

，x2=

1- 7

2

，|AB|=

1+ 9 4

×|x1-x2|=

91

2

，点O到直线AB的距离d=

3

9+4

=

3 13

13

，由此能求出△AOB的面积．

解答：解：（Ⅰ）依题意，点P坐标为（a，0）．　（1分）
∵

OP

•

OQ

=6，点Q坐标为（3，3），
∴3a+3×0=6，解得a=2．（3分）
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

9

=1．（4分）
（Ⅱ）方法一：过点Q（3，3）且斜率为

3

2

的直线AB方程为y-3=

3

2

(x-3)，
即3x-2y-3=0．（5分）
设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由

x2 4 + y2 9 =1 3x-2y-3=0

，消去x并整理得，8y²+12y-27=0．（6分）
∴y1+y2=-

3

2

，y1y2=-

27

8

，（7分）
∴(y1-y2)2=(y1+y2)2-4y1y2=

9

4

+

54

4

=

63

4

，
∴|y1-y2|=

3 7

2

．（9分）
∵直线AB与x轴的交点为M（1，0），
∴△AOB的面积S_△AOB=S_△OMA+S_△OMB
=

1

2

|OM|•（|y₁|+|y₂|）
=

1

2

×1×|y1-y2|
=

3 7

4

．（12分）
方法二：过点Q（3，3）且斜率为

3

2

的直线AB方程为y-3=

3

2

(x-3)，
即3x-2y-3=0．（5分）
设点A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），
由

x2 4 + y2 9 =1 3x-2y-3=0

，消去y，并整理得2x²-2x-3=0，（6分）
∴x1=

1+ 7

2

，x2=

1- 7

2

，（7分）
∴|AB|=

1+ 9 4

×|x1-x2|
=

13

2

×|

1+ 7

2

-

1- 7

2

|=

91

2

，（9分）
∵点O到直线AB的距离d=

3

9+4

=

3 13

13

，（10分）
∴△AOB的面积S_△AOB=

1

2

•|AB|•d=

1

2

×

91

2

×

3

13

=

3 7

4

．（12分）

点评：本题考查椭圆方程的求法和求三角形面积．具体涉及到椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系、韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答．