Question

【题目】已知椭圆以，为焦点，且离心率

（1）求椭圆的方程；

（2）过点斜率为的直线与椭圆有两个不同交点、，求的范围；

（3）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为、，是否存在直线，满足（2）中的条件且使得向量与垂直？如果存在，写出的方程；如果不存在，请说明理由。

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析.

【解析】

（1）由题意可得c,根据离心率可求出,即可写出方程（2）写出直线方程，联立方程组消元，通过判别式大于0求得k的取值范围（3）利用向量的坐标，可计算与的数量积为0时，k不满足,故不存在.

（1）设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为、、

由题设知：

由，得，

则

∴椭圆的方程为

（2）过点斜率为的直线：

即：

与椭圆方程联立消得…“*”

由与椭圆有两个不同交点知

其得或

∴的范围是

（3）设、，则、是“*”的二根

则，则

则

由题设知、，∴

若，须

得

∴不存在满足题设条件的.