题目内容

如图，E是以AB为直径的半圆上异于A、B的点，矩形ABCD所在的平面垂直于该半圆所在的平面，且AB=2AD=2．
（1）求证：EA⊥EC；
（2）设平面ECD与半圆弧的另一个交点为F．若EF=1，求二面角D-EC-B的正切值．
考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（1）利用面面垂直的性质，可得BC⊥平面ABE，再利用线面垂直的判定证明AE⊥面BCE，即可证得结论；
（2）以A为原点，AB、AD所在直线为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D-EC-B的正切值．
解答： （1）证明：∵平面ABCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE=AB，BC⊥AB，BC?平面ABCD
∴BC⊥平面ABE
∵AE?平面ABE，∴BC⊥AE
∵E在以AB为直径的半圆上，∴AE⊥BE
∵BE∩BC=B，BC，BE?面BCE
∴AE⊥面BCE
∵CE?面BCE，∴EA⊥EC
（2）
以A为原点，AB、AD所在直线为y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，1），E（
3
2
，
3
2
，0），
B（0，2，0），C（0，2，1），
有（1）知，
AE
=（
3
2
，
3
2
，0）是平面BEC的一个法向量，
设
n
=（x，y，z）是平面DEC的一个法向量
则由
n
⊥
DC
n
⊥
DE
得
2y=0
3
2
x+
3
2
y-z=0

取
n
=（2，0，
3
）
可得：cos＜
n
，
AE
＞=
n
•
AE
|
n
|•|
AE
|
=
3
+0+0
7
×
3
=
1
7

因为D-EC-B的二面角大小为钝角，故其正切值为-
6
．
点评：本题考查面面垂直的性质，线面垂直的判定与性质，考查线线垂直，考查二面角正切值的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
直线x+
3
y-m=0与圆x2+y2=1交于A，B两点，则与
OA
+
OB
共线的向量为（　　）
A、（
1
2
，-
3
3
）
B、（
1
2
，
3
2
）
C、（-1，
3
）
D、（1，
3
）
如图（1）在等腰△ABC中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点，∠ACB=120?，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B．（如图（2））
（Ⅰ）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）求二面角E-DF-C的余弦值．
已知函数f（x）=ex-ax．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，若?x∈R，f（x）≥1，求实数a的取值集合．
在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且角A，B，C成等差数列
（1）若a=2c=2，求b的值；
（2）若△ABC的面积为
3
，且b=2，求△ABC的周长．
如图O是△ABC内的一点，且
OA
+k•
OB
+t•
OC
=
0
，（k，t∈R）

（Ⅰ）若O是△ABC的重心，写出k，t的值；
（Ⅱ）若O是△ABC的外心，且k=
3
，t=
6
，求cos∠AOB的值；
（Ⅲ）若O是△ABC的外心，且AB=2，AC=3，求
OA
•
BC
的值．
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA=PD，PA⊥AB，点E、F分别是棱AD、BC的中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥PD；
（Ⅱ）若AB=AP，求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）若△PAD的面积为1，在四棱锥P-ABCD内部，放入一个半径为R的球O，且球心O在截面PEF中，试探究R的最大值，并说明理由．
设f（x）=|x-3|+|x-4|
（Ⅰ）求函数g（x）=
2-f(x)
的定义域；
（Ⅱ）若存在实数x满足f（x）≤ax-1，试求实数a的取值范围．
给出下列命题：
①函数y=cos（2x-
π
6
）图象的一条对称轴是x=
7π
12

②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；
③将函数y=sin（2x+
π
3
）的图象向右平移
π
3
个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；
④存在实数x，使得等式sinx+cosx=
3
2
成立；
其中正确的命题为
 
（写出所有正确命题的序号）．

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