题目内容
已知函数f（x）满足条件：
①f（x）＞0②对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）③x＞0时，0＜f（x）＜1，则不等式f-1（x2-4x+3）＞f-1（3）的解集为（ ）
①f（x）＞0②对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）③x＞0时，0＜f（x）＜1，则不等式f-1（x2-4x+3）＞f-1（3）的解集为（ ）
分析：先根据条件判定抽象函数f（x）在R上的单调性，然后根据原函数与反函数图象的关系得到函数f-1（x）在（0，+∞）上单调性，然后根据函数值的大小建立不等式，特别注意反函数的定义域．
解答：解：设m＞n，m，n∈R
∵对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）
∴
=f（m-n）
∵m-n＞0，x＞0时，0＜f（x）＜1
∴0＜
=f（m-n）＜1
而f（x）＞0则f（m）＜f（n）
∴f（x）在R上单调递减
根据原函数与反函数的关系可知f-1（x）在（0，+∞）上单调递减
∵f-1（x2-4x+3）＞f-1（3）
∴0＜x2-4x+3＜3解得x∈（0，1）∪（3，4）
故选C．
∵对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）
∴
| f(m) |
| f(n) |
∵m-n＞0，x＞0时，0＜f（x）＜1
∴0＜
| f(m) |
| f(n) |
而f（x）＞0则f（m）＜f（n）
∴f（x）在R上单调递减
根据原函数与反函数的关系可知f-1（x）在（0，+∞）上单调递减
∵f-1（x2-4x+3）＞f-1（3）
∴0＜x2-4x+3＜3解得x∈（0，1）∪（3，4）
故选C．
点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了应用函数的单调性和原函数与反函数的关系解不等式，属于中档题．
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