题目内容

已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0．若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程．
分析：求出圆心和半径，设直线方程为x+y-a=0或y=kx，由圆心C到切线的距离等于半径，求出待定系数a和k的值．
解答：解：圆C：x2+y2+2x-4y+3=0即（x+1）2+（y-2）2=2，表示圆心为C（-1，2），半径等于
2
的圆．
设斜率为-1的切线方程为x+y-a=0，设过原点的切线方程为kx-y=0，则圆心C到切线的距离等于半径．
由  
2
=
|-1+2-a|
2
，求得a=-1或3．
再由
2
=
|-k-2|
k2+1
，求得k=2±
6
，
故所求的切线的方程为x+y-3=0，x+y+1=0，y=(2±
6
)x．
点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想．注意分截距不等于0和截距
等于0两种情况进行讨论，属于中档题．
练习册系列答案
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已知圆C：x2+y2-6x-4y+8=0．以圆C与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点，则适合上述条件双曲线的标准方程为
 
．
（1）一个圆与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0所截得的弦长为2
7
，求此圆方程．
（2）已知圆C：x2+y2=9，直线l：x-2y=0，求与圆C相切，且与直线l垂直的直线方程．
（2009•普陀区一模）如图，已知圆C：x2+y2=r2与x轴负半轴的交点为A．由点A出发的射线l的斜率为k，且k为有理数．射线l与圆C相交于另一点B．
（1）当r=1时，试用k表示点B的坐标；
（2）当r=1时，试证明：点B一定是单位圆C上的有理点；（说明：坐标平面上，横、纵坐标都为有理数的点为有理点．我们知道，一个有理数可以表示为
qp
，其中p、q均为整数且p、q互质）
（3）定义：实半轴长a、虚半轴长b和半焦距c都是正整数的双曲线为“整勾股双曲线”．
当0＜k＜1时，是否能构造“整勾股双曲线”，它的实半轴长、虚半轴长和半焦距的长恰可由点B的横坐标、纵坐标和半径r的数值构成？若能，请尝试探索其构造方法；若不能，试简述你的理由．
（2012•泸州一模）已知圆C：x2+y2=r2（r＞0）与抛物线y2=40x的准线相切，若直线l：
x
a
+ 
y
b
=1与圆C有公共点，且公共点都为整点（整点是指横坐标．纵坐标都是整数的点），那么直线l共有（　　）
已知圆C：x2+y2=4与直线L：x+y+a=0相切，则a=（　　）

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