Question

定义数列A_n：a₁，a₂，…，a_n，（例如n=3时，A₃：a₁，a₂，a₃）满足a₁=a_n=0，且当2≤k≤n（k∈N^*）时，(ak-ak-1)2=1．令S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n．
（1）写出数列A₅的所有可能的情况；
（2）设a_k-a_k-1=c_k-1，求S（A_m）（用m，c₁，…，c_m的代数式来表示）；
（3）求S（A_m）的最大值．

Answer 1

（1）由题设，满足条件的数列A₅的所有可能情况有：
①0，1，2，1，0；②0，1，0，1，0；
③0，1，0，-1，0；④0，-1，-2，-1，0；
⑤0，-1，0，1，0；⑥0，-1，0，-1，0．
（2）a_k-a_k-1=c_k-1，由(ak-ak-1)2=1，
则c_k-1=1或c_k-1=-1（2≤k≤n，k∈N^*），
a₂-a₁=c₁，a₃-a₂=c₂，
…a_n-a_n-1=c_n-1，
所以a_n=a₁+c₁+c₂+…+c_n-1．
因为a₁=a_n=0，所以c₁+c₂+…+c_n-1=0，且n为奇数，
c₁，c₂，…，c_n-1是由

n-1

2

个1和

n-1

2

个-1构成的数列．
所以S（A_m）=c₁+（c₁+c₂）+…+（c₁+c₂+…+c_m-1）
=（m-1）c₁+（m-2）c₂+…+2c_m-2+c_m-1．
（3）当c₁，c₂，…，c_m-1的前

m-1

2

项取1，
后

m-1

2

项取-1时S（A_m）最大，
此时S(Am)=(m-1)+(m-2)+…+

m+1

2

-(

m-1

2

+…+2+1)=

(m-1)2

4

（14分）
证明如下：
假设c₁，c₂，…，c_m-1的前

m-1

2

项中恰有t项cm1，cm2，…，cmt取-1，
则c₁，c₂，…，c_m-1的后

m-1

2

项中恰有t项cn1，cn2，…cnt取1，
其中1≤t≤

m-1

2

，1≤mi≤

m-1

2

，

n-1

2

＜ni≤m-1，i=1，2，…，t．
所以S（A_m）=（m-1）c₁+（m-2）c₂+…+2c_m-2+c_m-1
=(m-1)c1+(m-2)c2+…+

m+1

2

c

m-1

2

+

m-1

2

c

m+1

2

+…+2cm-2+cm-1
=(m-1)+(m-2)+…+

m+1

2

-(

m-1

2

+…+2+1)-2[（m-m₁）+（m-m₂）+…+（m-m_t]+2[（m-n₁）+（m-n₂）+…+（m-n_t）]
=

(m-1)2

4

-2[(n1-m1)+(n2-m2)+…+(nt-mt)]＜

(m-1)2

4

．
所以S（A_m）的最大值为

(m-1)2

4

．