Question

7．已知函数f（x）=$\frac{bx}{a{x}^{2}+1}$（b≠0，a＞0）．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若f（1）=$\frac{1}{2}$，log₃（4a-b）=$\frac{1}{2}$log₂4．
①求a，b的值．
②已知A，B是锐角三角形ABC的内角，试判断f（sinA）与f（cosB）的大小．

Answer 1

分析 （1）利用奇偶函数的定义判断f（-x）与f（x）的关系；
（2）已知得到关于a，b的方程解之；再利用函数的单调性，首先判断sinA与cosB的大小．再判断f（sinA）与f（cosB）的大小．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{bx}{a{x}^{2}+1}$（b≠0，a＞0）．
f（-x）=$\frac{-bx}{a{x}^{2}+1}=-$f（x），所以函数f（x）为奇函数；
（2）若f（1）=$\frac{1}{2}$，log₃（4a-b）=$\frac{1}{2}$log₂4．
则①$\frac{b}{a+1}=\frac{1}{2}$且4a-b=3，解得a=1，b=1；
②由①知，得到f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，f'（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{{（x}^{2}+1）^{2}}$，由f'（x）＞0得到-1＜x＜1时，f（x）为增函数，
又A，B是锐角三角形ABC的内角，所以A+B＞$\frac{π}{2}$，即A＞$\frac{π}{2}-B$，所以sinA＞sin（$\frac{π}{2}$-B）所以1＞sinA＞cosB＞0，
所以f（sinA）＞f（cosB）．

点评 本题考查了函数的奇偶性以及单调性的运用；属于中档题．