Question

在四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为的正方形,侧棱长为且侧棱垂直于底面,E、F分别是AB₁、CB₁的中点，求证：平面D₁EF⊥平面AB₁C.

Answer 1

证明：把四棱柱如图放置在空间直角坐标系中，则各点坐标为A(,0,0),C(0,,0),B₁(,,),D₁(0,0,),E(),F().

假设平面AB₁C的法向量为n₁=(1,λ₁,μ₁),则n₁应垂直于.而

∴

∴λ₁=1,μ₁=-.∴n₁=(1,1,-).

再假设平面D₁EF的法向量为n₂=(1,λ₂,μ₂),则n₂应垂直于、,而=(),

∴

∴λ₂=1,μ₂=.

∴n₂=(1,1,).

由于n₁·n₂=1+1-=1+1-2=0,

∴n₁⊥n₂.因此平面D₁EF⊥平面AB₁C.