Question

19．如图，某舞台的两侧各有一块同样的扇形区域．圆心角∠AOB=90°，OA=4米，在圆弧$\widehat{AB}$上有一点C，作CD⊥OB于点D．设∠OAC=θ（rad），f（θ）=AC+CD．
（1）求函数f（θ）的解析式；
（2）若折线ACD是某表演路线的一部分，为优化观赏效果，要使折线ACD最长，问点D应设计在何处？．

Answer 1

分析 （1）构造辅助线，利用几何关系找出半径与角的关系．
（2）利用函数关系式求出折线ACD最长时θ的值，从而求出点D与点O的位置关系．

解答 解：（1）过点C作CD⊥OA于E，连接OC，得下图：

则有：cosθ=$\frac{AE}{AC}$
∴AC=$\frac{AE}{cosθ}$，
∵CD⊥OB，∠AOB=90°，
∴CD平行等于OE
即AC=$\frac{OA-CD}{cosθ}$，
∵∠OAC=∠ACO=θ，
∴∠AOC=∠OCD=π-2θ，
∴CD=OC•cos（π-2θ），
即f（θ）=4cos（π-2θ）+$\frac{4-4cos（π-2θ）}{cosθ}$，
∴f（θ）=-8cos²θ+8cosθ+4；
（2）由（1）知，使折线ACD最长即是f（θ）的最大值．
∵f（θ）的最大值为其顶点，此时cosθ=-$\frac{8}{2×（-8）}$=$\frac{1}{2}$，
且0≤θ≤π，
∴θ=60°，
则有：OA=OC=AC=4米，
∴OD=OC•sin60°=2$\sqrt{3}$，
即点D应设计在距离O点2$\sqrt{3}$米处．

点评 本题考查应用三角恒等变换及三角函数知识解决实际问题，首先需要将实际问题通过转化构造出相关的函数关系，其次要能够结合所学三角函数的知识去求最值，本题体现了三角函数的应用价值，属于中档题．