Question

11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，BE平分∠ABC，AD与BE交于点P，若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，则λ等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\sqrt{2}$-1
• C． $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$
• D． $\frac{2-\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 可以BC，DA所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系，并设$AB=\sqrt{2}$，从而可根据条件求出A，B，C三点的坐标，并可求出$tan22.5=\sqrt{2}-1$，可写出直线BE的方程，从而求出点P的坐标，进而得出向量$\overrightarrow{AP}，\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$的坐标，带入$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{AC}$即可建立关于λ，μ的方程，解出λ即可．

解答 解：以BC，DA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设AB=$\sqrt{2}$，则：

A（0，1），B（-1，0），C（1，0）；
根据正切的二倍角公式：设tan22.5=x，则$\frac{1-{x}^{2}}{2x}=1$，且x＞0；
∴解得x=$\sqrt{2}-1$；
∴直线BE的方程为$y=（\sqrt{2}-1）（x+1）$；
∴令x=0，y=$\sqrt{2}-1$，即$P（0，\sqrt{2}-1）$；
∴$\overrightarrow{AP}=（0，\sqrt{2}-2），\overrightarrow{AB}=（-1，-1）$，$\overrightarrow{AC}=（1，-1）$；
∴$（0，\sqrt{2}-2）=λ（-1，-1）+μ（1，-1）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{μ-λ=0}\\{μ+λ=2-\sqrt{2}}\end{array}\right.$；
解得$λ=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．
故选D．

点评 考查通过建立平面直角坐标系，利用向量坐标解决向量问题的方法，能确定图形上点的坐标，根据点的坐标可求向量坐标，向量坐标的数乘和加法运算．