Question

已知5sinβ=sin(2α+β).求证:2tan(α+β)=3tanα.

Answer 1

解:∵β=(α+β)-α,2α+β=(α+β)+α,∴5sin［(α+β)-α］=sin［(α+β)+α］,

即5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.

∴2sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα.∴2tan(α+β)=3tanα.

点评:注意到条件式的角是β和2α+β,求证式中的角是α+β和α,显然“不要”的角β和2α+β应由要保留下来的角α+β与α来替代.三角条件等式的证明,一般是将条件中的角(不要的)用结论式中的角(要的)替代,然后选择恰当的公式变形.三角变换中经常要化复角为单角,化未知角为已知角.因此,看准角与角的关系十分重要.哪些角消失了,哪些角变化了,结论中是哪些角,条件中有没有这些角,在审题中必须对此认真观察和分析.常见的变角方式有:α=(α+β)-β;2α=(α+β)+(α-β);2α-β=(α-β)+α.当然变形的方式不唯一,应因题而异,要具体问题具体分析.