Question

已知θ满足

sinθ+2cosθ≤2 sinθ-3cosθ≤1

，则函数f（θ）=2sinθ+3cosθ的最大值为（　　）

• A、

  17

  5

• B、

  18

  5

• C、

  19

  5

• D、

  13

Answer 1

分析：先设x=sinθ，y=cosθ，将题目转化成约束条件为

x2+y2=1 x+2y≤2 x-3y≤1

，目标函数为z=2x+3y的最大值问题，再根据约束条件画出可行域，设z=2x+3y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+3y过可行域内的点A时，从而得到z=2x+3y的最大值即可．

解答：解：设x=sinθ，y=cosθ
则约束条件为

x2+y2=1 x+2y≤2 x-3y≤1

，目标函数为f（θ）=2x+3y
先根据约束条件画出可行域，
设z=2x+3y，将z的值转化为直线z=2x+3y在y轴上的截距，
当直线z=2x+3y经过点A（

4

5

，

3

5

）时，z最大，
最大值为：

17

5

．
故选A．

点评：本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解．借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．