Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是PB的中点
（1）证明：平面PBC⊥平面PAC；
（2）求二面角A-MC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）先根据边长的关系得到AC⊥BC；再结合PA⊥底面ABCD得到PA⊥BC即可得BC⊥平面PAC；进而得到平面PBC⊥平面PAC；
（2）先过A作AE⊥PC交于点E，得到AE⊥平面PBC，再过A作AF⊥CM交于点F，得到∠AFE即为二面角A-MC-P的平面角；再通过求边长得到∠AFE的余弦值，最后求其补角即可得到结论．

解答：解：（1）由条件知：BC=AC=

2

，AB=2，
∴BC²+AC²=AB²，∴AC⊥BC，…（2分）
又∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PA⊥BC…（1分）
又∵AC∩PA=A
∴BC⊥平面PAC…（1分）
又∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC…（1分）
（2）过A作AE⊥PC交于点E，
∵由（1）知平面PBC⊥平面PAC，∴AE⊥平面PBC，
过A作AF⊥CM交于点F，连接EF，则EF⊥CM，
∴∠AFE即为二面角A-MC-P的平面角，
在Rt△PAB中，AM=BM=

1

2

PB=

5

2

，又BC=AC=2
∴CM=

1

2

PB=

5

2

在△AMC中，AM=CM=

5

2

，AC=

2

，
利用面积相等，得：AF=

30

5

．
在Rt△AEF中，AE=

6

3

，AF=

30

5

，
∴sin∠AFE=

AE

AF

=

5

3

，cos∠AFE=

2

3

∴二面角A-MC-B的平面角的余弦值为-

2

3

．

点评：本小题主要考查空间线面关系、二面角的度量等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．