Question

14．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}$（a_n+2-a _n+1）x²-（3a_n+1-4a_n）x（n∈N）的对称轴是x=1，数列 {a_n}满足，a₁=2，a₂=8．
（1）证明数列{a_n+1-2a_n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项；
（2）设3ⁿb_n=（-1）ⁿa_n，且|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m-3n（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹对于n∈N^*恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过函数f（x）=$\frac{1}{2}$（a_n+2-a _n+1）x²-（3a_n+1-4a_n）x（n∈N）的对称轴是x=1可知-$\frac{-（3{a}_{n+1}-4{a}_{n}）}{2•\frac{1}{2}（{a}_{n+2}-{a}_{n+1}）}$=1，整理并利用a₁=2、a₂=8可知数列{a_n+1-2a_n}是以4为首项、2为公比的等比数列，从而a_n+1-2a_n=2ⁿ⁺¹，通过将等式两边同时除以2ⁿ⁺¹、整理可知数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首项、公差均为1的等差数列，进而计算可得结论；
（2）通过（1）可知b_n=（-1）ⁿ•n•$（\frac{2}{3}）^{n}$，利用错位相减法计算可知B_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=6-9•$（\frac{2}{3}）^{n+1}$-3n•$（\frac{2}{3}）^{n+1}$，从而不等式转化为6-9•$（\frac{2}{3}）^{n+1}$＜m对于n∈N^*恒成立，利用$\underset{lim}{n→∞}$$（\frac{2}{3}）^{n+1}$=0，计算即得结论．

解答 （1）证明：∵函数f（x）=$\frac{1}{2}$（a_n+2-a _n+1）x²-（3a_n+1-4a_n）x（n∈N）的对称轴是x=1，
∴-$\frac{-（3{a}_{n+1}-4{a}_{n}）}{2•\frac{1}{2}（{a}_{n+2}-{a}_{n+1}）}$=1，
整理得：a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），
又∵a₂-2a₁=8-2×2=4，
∴数列{a_n+1-2a_n}是以4为首项、2为公比的等比数列，
∴a_n+1-2a_n=4•2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{2}^{n+1}}$-$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=1，
又∵$\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}$=$\frac{2}{2}$=1，
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是首项、公差均为1的等差数列，
∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=n，
∴数列{a_n}的通项a_n=n•2ⁿ；
（2）解：由（1）可知b_n=$\frac{（-1）^{n}{a}_{n}}{{3}^{n}}$=（-1）ⁿ•n•$（\frac{2}{3}）^{n}$，
∴记B_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|
=1•$\frac{2}{3}$+2•$（\frac{2}{3}）^{2}$+…+n•$（\frac{2}{3}）^{n}$，
∴$\frac{2}{3}$B_n=1•$（\frac{2}{3}）^{2}$+2•$（\frac{2}{3}）^{3}$+…+（n-1）•$（\frac{2}{3}）^{n}$+n•$（\frac{2}{3}）^{n+1}$，
两式相减得：$\frac{1}{3}$B_n=$\frac{2}{3}$+$（\frac{2}{3}）^{2}$+$（\frac{2}{3}）^{3}$+…+$（\frac{2}{3}）^{n}$-n•$（\frac{2}{3}）^{n+1}$
=$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$-n•$（\frac{2}{3}）^{n+1}$
=2-（n+3）•$（\frac{2}{3}）^{n+1}$，
∴B_n=6-（3n+9）•$（\frac{2}{3}）^{n+1}$=6-9•$（\frac{2}{3}）^{n+1}$-3n•$（\frac{2}{3}）^{n+1}$，
∴|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m-3n（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹对于n∈N^*恒成立，
等价于6-9•$（\frac{2}{3}）^{n+1}$-3n•$（\frac{2}{3}）^{n+1}$＜m-3n（$\frac{2}{3}$）ⁿ⁺¹对于n∈N^*恒成立，
∴6-9•$（\frac{2}{3}）^{n+1}$＜m对于n∈N^*恒成立，
∵$\underset{lim}{n→∞}$$（\frac{2}{3}）^{n+1}$=0，
∴m≥6，
∴实数m的取值范围是：[6，+∞）．

点评 本题是一道关于数列与不等式的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．