题目内容

求以坐标轴为对称轴，一焦点为 $数学公式$ 且截直线y=3x-2所得弦的中点的横坐标为 $数学公式$ 的椭圆方程．

解：∵椭圆一个焦点为 $\text{[math]}$ ，
∴椭圆是焦点在y轴的椭圆，设方程为 $\text{[math]}$ （a＞b＞0）
将椭圆方程与直线y=3x-2消去y，得（a²+9b²）x²-12b²x+4b²-a²b²=0
设直线y=3x-2与椭圆交点为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴x₁+x₂= $\text{[math]}$ =1…①
又∵a²-b²=（ $\text{[math]}$ ）²=50…②
∴①②联解，得a²=75，b²=25
因此，所求椭圆的方程为： $\text{[math]}$
分析：由题意，设椭圆方程为 $\text{[math]}$ ，与直线y=3x-2消去y得关于x的一元二次方程．利用根与系数的关系结合中点坐标公式，得x₁+x₂= $\text{[math]}$ =1，再由椭圆的c= $\text{[math]}$ ，得a²-b²=50，两式联解得a²=75，b²=25，从而得到所求椭圆的方程．
点评：本题给出焦点在y轴上的一个椭圆，在已知椭圆被直线截得弦的中点横坐标的情况下，求椭圆的方程，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质和直线与椭圆位置关系等知识，属于中档题．