Question

2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A，B，C成等差数列，2a，2b，3c成等比数列，求cosA•cosC．

Answer 1

分析 根据等差中项的性质、内角和定理求出B，根据等比中项的性质和正弦定理可求出sinAsinC，利用诱导公式和两角和的余弦公式求出cosA•cosC．

解答 解：∵A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，
∵A+B+C=π，∴B=$\frac{π}{3}$，
∵2a，2b，3c成等比数列，∴4b²=6ac，
由正弦定理得2sin²B=3sinAsinC，
∴sinAsinC=2×$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∵cos（A+C）=-cosB=-$\frac{1}{2}$，
∴cos（A+C）=cosAcosC-sinAsinC=-$\frac{1}{2}$，
则cosAcosC=0．

点评 本题考查等差、等比中项的性质，正弦定理，以及诱导公式和两角和的余弦公式，属于中档题．