Question

11．已知在数列{a_n}满足a₁=1，a_n=a_n+1（1+2a_n ）（n∈N^*）．
（1）数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）若a₁a₂ +a₂a₃ +…+a_na_n+1＞$\frac{16}{33}$，求n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n=a_n+1（1+2a_n ）（n∈N^*）变形可知$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，进而可知数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、2为公差的等差数列；
（2）通过（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n-1，裂项可知a_na_n+1=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），并项相加可知a₁a₂ +a₂a₃ +…+a_na_n+1=$\frac{n}{2n+1}$，从而解不等式$\frac{n}{2n+1}$＞$\frac{16}{33}$即可．

解答 （1）证明：∵a_n=a_n+1（1+2a_n ）（n∈N^*），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1+2{a}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项、2为公差的等差数列；
（2）解：由（1）可知$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_na_n+1=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴a₁a₂ +a₂a₃ +…+a_na_n+1=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$，
又∵a₁a₂ +a₂a₃ +…+a_na_n+1＞$\frac{16}{33}$，
∴$\frac{n}{2n+1}$＞$\frac{16}{33}$，
解得：n＞16，
∴n的取值范围是：（16，+∞）．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．