Question

若

lim

n→∞

(

4

1-a

+

4a

1-a

+…+

4an-1

1-a

)=9，则实数a的值等于

1

3

．

Answer 1

分析：先利用等比数列的前n项和公式求出其和，由于其极限存在可得出公比满足的条件，进而利用极限的定义即可解出．

解答：解：∵a≠1，且a≠0，∴1+a+a²+…+a^n-1=

1-an

1-a

，且

4

1-a

+

4a

1-a

+…+

4an-1

1-a

=

4(1-an)

(1-a)2

的极限存在，
∴必有0＜|a|＜1，
∴

lim

n→∞

(

4

1-a

+

4a

1-a

+…+

4an-1

1-a

)=

lim

n→∞

4(1-an)

(1-a)2

=

4

(1-a)2

，
∴

4

(1-a)2

=9，又有0＜|a|＜1，解得a=

1

3

．
则实数a=

1

3

．
故答案为

1

3

．

点评：熟练掌握等比数列的前n项和公式及极限的定义是解题的关键．