Question

20．设函数f（x）=e^x（2x-1），g（x）=kx-k，其中k＜1，若存在唯一的整数解，使得f（x₀）＜g（x₀），则k的取值范围是（　　）

• A． [$-\frac{3}{2e}，1$）
• B． [$\frac{3}{2e}$，1）
• C． [$\frac{3}{2e}，\frac{3}{4}$）
• D． [$-\frac{3}{2e}，\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 函数f（x）=e^x（2x-1），g（x）=kx-k，问题转化为存在唯一的整数x₀使得f（x₀）在直线y=kx-k的下方，求导数可得函数的极值，数形结合可得-k＞f（0）=-1且f（-1）=-3e^-1≥-k-k，解关于k的不等式组可得．

解答 解：函数f（x）=e^x（2x-1），g（x）=kx-k，
由题意知存在唯一的整数x₀使得f（x₀）在直线y=kx-k的下方，
∵f′（x）=e^x（2x-1）+2e^x=e^x（2x+1），
∴当x＜-$\frac{1}{2}$时，f′（x）＜0，当x＞-$\frac{1}{2}$时，f′（x）＞0，
∴当x=-$\frac{1}{2}$时，f（x）取最小值-2${e}^{-\frac{1}{2}}$，
当x=0时，f（0）=-1，当x=1时，f（1）=e＞0，
直线y=kx-k恒过定点（1，0）且斜率为k，
故-k＞f（0）=-1且f（-1）=-3e^-1≥-k-k，
解得$\frac{3}{2e}$≤k＜1．
故选B．

点评 本题考查导数和极值，涉及数形结合和转化的思想，属中档题．