Question

四棱锥P-ABCD的底面是边长为3的正方形，PD⊥平面ABCD．异面直线AD与PB所成角为60°，E为线段PC上一点，PE=2EC．
（1）求PD的长； （2）求二面角P-BD-E的大小．

Answer 1

分析：（1）由已知中四棱锥P-ABCD的底面是边长为3的正方形，PD⊥平面ABCD．异面直线AD与PB所成角为60°，我们可得△PBC为直角三角形，且∠PBC=60°，BC=3，代入求出PC后，解直角△PDC可得答案．
（2）以D为坐标原点建立空间坐标系D-xyz，分别求出平面PBD及平面BDE的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角P-BD-E的大小．

解答：解：（1）∵ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，
∴BC⊥PD，BC⊥CD
又∵PD∩CD=D
∴BC⊥平面PCD
∴BC⊥PC
∵异面直线AD与PB所成角为60°，BC∥AD
∴在Rt△PBC中，∠PBC=60°，BC=3
故PC=3

3

在Rt△PDC中，CD=3
∴PD=3

2

（2）以D为坐标原点建立空间坐标系D-xyz，如图所示
则P（0，0，3

2

），A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），D（0，0，0），
E为线段PC上一点，PE=2EC，故E（0，2，

2

）
∵PD⊥AC，BD⊥AC，PD∩BD=D
AC⊥平面PBD
∴

AC

=（-3，3，0）为平面PBD的一个法向量
又∵

BD

=（-3，-3，0），

DE

=（0，2，

2

）
设向量

a

=（x，y，z）为平面BDE的一个法向量，则

a • BD =0 a • DE =0

即

-3x-3y=0 2y+ 2 z=0

令x=1，则

a

=（1，-1，

2

）
设二面角P-BD-E的平面角为θ
则|cosθ|=

| a • AC |

| a |•| AC |

=

2

2

二面角P-BD-E的大小为45°

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．