Question

如图，已知椭圆焦点为F₁、F₂，双曲线G：x²-y²=4，设P是双曲线G上异于顶点的任一点，直线PF₁、PF₂与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
（1）设直线PF₁、PF₂的斜率分别为k₁和k₂，求k₁•k₂的值；
（2）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设出点P的坐标，表示出斜率，利用P是双曲线G上异于顶点的任一点，即可求得k₁•k₂的值；
（2）设出直线AB，CD的方程与椭圆方程联立，求得相应弦长，利用|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，可得，从而问题得解．
解答：解：（1）设点P（x，y），x≠±2，那么，
∴
∵P是双曲线G上异于顶点的任一点
∴x²-y²=4，
∴y²=x²-4，
∴k₁k₂=1
（2）设直线AB：y=k₁（x+2），k₁≠0
由方程组得
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则
由弦长公式得
同理设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由（1）k₁•k₂=1得，，代入得
∵|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|，∴
则存在，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立．
点评：本题重点考查直线与圆锥曲线的综合，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用弦长公式，综合性强．