Question

（2013•嘉定区一模）如图，已知椭圆

x2

16

+

y2

7

=1的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0．
（1）设动点P满足|PF|²-|PB|²=3，求点P的轨迹；
（2）若x₁=3，x2=

1

2

，求点T的坐标．

Answer 1

分析：（1）由椭圆标准方程求出B和F点的坐标，设出动点P的坐标，然后直接由关系式|PF|²-|PB|²=3求点P的轨迹；
（2）题目给出了M和N点的横坐标，把两个点的坐标代入椭圆方程求得两个点的纵坐标，然后求出经过A、M和B、N的两条直线方程，则点T的坐标可求．

解答：解：（1）由已知得a=4，b=

7

，c=3，
则B（4，0），F（3，0），
设P（x，y），
由|PF|²-|PB|²=3，得[（x-3）²+y²]-[（x-4）²+y²]=3，
化简得，x=5．
所以动点P的轨迹是直线x=5．
（2）由x₁=3，x2=

1

2

，则M（3，y₁），N(

1

2

 ， y2)
将M（3，y₁）和N(

1

2

 ， y2)代入

x2

16

+

y2

7

=1得，

9 16 + y 2 1 7 =1 1 64 + y 2 2 7 =1

，
解得

y 2 1 = 49 16 y 2 2 = 441 64

，
因为y₁＞0，y₂＜0，所以y1=

7

4

，y2=-

21

8

．
所以M(3 ， 

7

4

)，N(

1

2

 ， -

21

8

)．
又因为A（-4，0），B（4，0），
所以直线MA的方程为y=

1

4

(x+4)，直线NB的方程为y=

3

4

(x-4)．
由

y= 1 4 (x+4) y= 3 4 (x-4)

，
解得

x=8 y=3

．
所以点T的坐标为（8，3）．

点评：本题考查了圆锥曲线的轨迹问题，考查了利用代入法求点的坐标，考查了过两点的直线方程的求法，考查了计算能力，此题属中档题．