题目内容

如图，已知椭圆C：的左、右两个焦点分别为F1、F2，过F1作一直线交椭圆C于A、B两点.

(1)求△ABF2面积的最大值.

（2）求△ABF2面积取得最大值时tan∠F1AF2的值.

解：（1）由,知F1(-1,0),F2(1,0).?

设倾角为θ的直线AB（θ≠）:y=k(x+1)和椭圆C交于A（x 1 ,y 1）,B(x 2 ,y 2).?

将y=k(x+1)代入8x 2+9y 2=72中,?

整理得（8+9k2）x 2+18k 2x+9k 2-72=0.?

求得Δ=4×9×64(k2+1),?

|AB|=|x1-x2|=(k=tanθ)?

△ABF 2面积S=|AB|·|F 1F 2|·sinθ=?

=(0＜sinθ＜1)?

SΔ ＜,当θ=,SΔ=.?

∴△ABF2面积最大值为.?

(2)在△ABF2面积取最大值时，sinθ=1,则AB⊥x轴.?

∴此时|AF1|=,而2c=2.

在Rt△AF1F2 ,tan∠F1AF2=.


练习册系列答案
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（2013•临沂二模）
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）如图，已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为
3
2
，点A是椭圆上任一点，△AF1F2的周长为4+2
3
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点Q（-4，0）任作一动直线l交椭圆C于M，N两点，记
MQ
=λ
QN
，若在线段MN上取一点R，使得
MR
=-λ
RN
，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程．

如图，已知椭圆C： 的左、右焦点分别为，离心率为，点A是椭圆上任一点，的周长为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过点任作一动直线l交椭圆C于两点，记，若在线段上取一点R，使得，则当直线l转动时，点R在某一定直线上运动，求该定直线的方程.

 

 

在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y＝－2分别交于点M、N.

（1）设直线AP、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；

（2）求线段MN长的最小值；

（3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

 
如图，已知椭圆C：的离心率为，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求的最小值，并求此时圆T的方程；
（3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．
如图，已知椭圆C：的长轴AB长为4，离心率，O为坐标原点，过B的直线l与x轴垂直．P是椭圆上异于A、B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=PQ，连接AQ延长交直线l于点M，N为MB的中点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）证明Q点在以AB为直径的圆O上；
（3）试判断直线QN与圆O的位置关系．

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