Question

【题目】已知函数，.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若对任意，均有恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）求出导函数，由导数确定函数的单调性得极值；

（2）求出导函数，按，，，分类讨论确定在上的最大值，从而可求得范围．

（1）当时，，.

令，得或；，得.

∴在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

因此，当时，取得最大值；当时，取得极小值.

（2）由已知得.

①当时，，可知在上是增函数，在上是减函数，所以在上有最大值恒成立，符合题意.

②当，时，.

由，得或；由，得.

∴在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，

因此在上有极大值恒成立.

又由，解得，所以.

③当时，同理可得在上有极大值，整理得恒成立，结合，所以.

综上所述，实数的取值范围是.