题目内容
【题目】设椭圆
的离心率为
，左、右焦点分别为
，点D在椭圆C上，
的周长为
.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过圆
上任意一点P作圆E的切线l，若l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求证：
为定值.
【答案】（1）
（2）见解析
【解析】
(1) 由
，周长
,解得
,
即可求得标准方程.
(2)通过特殊情况
的斜率不存在时,求得
,再证明的斜率存在时
,即可证得
为定值.通过设直线的方程为
与椭圆方程联立,借助韦达定理求得
,利用直线与圆相切,即
,求得
的关系代入,化简即可证得
即可证得结论.
（1）由题意得，周长，且
.
联立解得，，所以椭圆C的标准方程为.
（2）①当直线l的斜率不存在时，不妨设其方程为
，
则
，
所以
，即.
②当直线l的斜率存在时，设其方程为，并设
，
由
，
，
，
由直线l与圆E相切，得
.
所以
.
从而
，即.
综合上述，得为定值.
练习册系列答案
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【题目】某保险公司给年龄在
岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从
名参保人员中随机抽取
名作为样本进行分析，按年龄段
、
、
、
、
分成了五组，其频率分布直方图如下图所示，参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示.
年龄（单位：岁） |
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保费（单位：元） |
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（1）求频率分布直方图中实数
的值，并求出该样本年龄的中位数；
（2）现分别在年龄段、、、、中各选出
人共
人进行回访.若从这人中随机选出
人，求这人所交保费之和大于
元的概率.
