Question

【题目】已知函数．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，求函数在上的零点个数．

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）2个

【解析】

(1)对求导后,根据的正负对的正负进行分情况讨论,得出对应单调性即可;

(2)方法一:对求导后,对,,三种情况,结合零点存在性定理分别讨论零点个数;方法二:对求导后,对,两种情况,结合零点存在性定理分别讨论零点个数.

(1),其定义域为,,

①当时,因为,所以在上单调递增,

②当时,令得,令得,

所以在上单调递减,上单调递增,

综上所述,

当时,在上单调递增,

当时,在单调递减,单调递增.

(2)方法一:由已知得,,则.

①当时,因为,所以在单调递减,

所以,所以在上无零点;

②当时,因为单调递增,且,,

所以存在,使,

当时,,当时,,

所以在递减,递增,且,所以,

又因为,

所以,所以在上存在一个零点,

所以在上有两个零点;

③当时,,所以在单调递增,

因为,所以在上无零点;

综上所述,在上的零点个数为2个.

方法二:由已知得,,则.

①当时,因为,所以在单调递增,

所以,所以在上无零点;

②当时,所以在单调递增,

又因为,,

所以使,

当时,,当时,

所以在单调递减,单调递增,

且,所以,

又因为,所以,

所以在上存在唯一零点,

所以在上存在两个零点,

综上所述,在上的零点个数为2个.