题目内容

如图，在直角梯形ABCP中，,D是AP的中点，E,G分别为PC,CB的中点，将三角形PCD沿CD折起，使得PD垂直平面ABCD.（1）若F是PD的中点，求证：AP平面EFG;（2）当二面角G-EF-D的大小为时，求FG与平面PBC所成角的余弦值.

（1）详见解析，（2）

解析试题分析：（1）证明线面平行，关键找线线平行.因为本题条件涉及中点较多，宜从中位线性质出发寻找.如取AD中点M，则有又所以平面=平面.本题也可从证面面平行出发，推出线面平行.（2）已知二面角平面角，求线面角，宜利用空间向量解决.先建立空间直角坐标系，设出各点的坐标，,,,,设,利用二面角G-EF-D的大小为求出，再利用空间向量数量积求线面角. 利用空间向量求角，关键是正确表示平面的法向量，明确向量夹角与二面角或线面角之间关系.
试题解析：(1)证明：是的中点时,////,//,//平面,
//平面,,平面//平面,平面,
//平面.                       (6分)
(2)建立如图所示的坐标系,则有,,,,设,

,,平面的法向量,则有
,解得. .
平面的法向量,依题意,
,
.于是.
平面的法向量,,
,则有
,解得. .
与平面所成角为,则有,
故有.                        (12分)
考点：线面平行判定定理，利用空间向量求角

练习册系列答案
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如下图所示，ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE＝3AF，BE与平面ABCD所成的角为60°.

(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求二面角F－BE－D的余弦值；
(3)设点M是线段BD上一个动点，试确定点M的位置，使得AM∥平面BEF，并证明你的结论．

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.

（1）证明：PA⊥BD；
（2）若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

如图，四棱锥P—ABCD中，PD底面ABCD，AB//DC，ADDC，AB=AD=1，DC=2，PD=，M为棱PB的中点．

(1)证明：DM平面PBC；
(2)求二面角A—DM—C的余弦值．

如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，过作垂直交于点，作垂直交于点，平面交于点，且，.

（1）设点是上任一点，试求的最小值；
（2）求证：、在以为直径的圆上；
（3）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

如图，四棱锥中，底面为平行四边形，，，⊥底面．
 
(1)证明：平面平面；
(2)若二面角为，求与平面所成角的正弦值．

如图，已知的直径，点、为上两点，且，，为弧的中点．将沿直径折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．

（1）求证：；
（2）在弧上是否存在点，使得平面？若存在，试指出点的位置；若不存在，请说明理由；
（3）求二面角的正弦值.

如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．

（1）证明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角Q—BP—C的余弦值．

如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点．线段AG交线段ED于F点，将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图乙所示的几何体。

（1）求证BC⊥平面AFG；
（2）求二面角B－AE－D的余弦值．

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