Question

如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中点，
（1）求二面角E-AC-D的余弦值；
（2）求直线CD与平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），
E（0，2，1），P（0，0，2）．
∴

AB

=（2，0，0），

AD

=（0，4，0），

AP

=（0，0，2），

CD

=（-2，0，0），

AE

=（0，2，1），

AC

=（2，4，0）．



（1）设平面AEC的法向量

n

=（x，y，z），令z=1，则

n

=（x，y，1）．
由

n • AE =0 n • AC =0

即

2y+1=0 2x+4y=0

，解得

x=1 Y=- 1 2

∴

n

=（1，-

1

2

，1）．
平面ABC的法向量

AP

=（0，0，2）．
cos＜

n

，

AP＞

=

n • AP

| n |•| AP |

=

2

3 2 ×2

=

2

3

．
所以二面角E-AC-D所成平面角的余弦值是

2

3

．
（2）因为平面ABC的法向量是

n

=（1，-

1

2

，1），而

CD

=（-2，0，0）．
所以cosθ=

n • CD

| n |•| CD |

=

-2

3 2 ×2

=-

2

3

．
直线CD与平面AEC的正弦值

2

3

．