题目内容
已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x（1+x）．
（1）求x＞0时，f（x）的解析式
（2）求不等式f（x）＞0的解集．
（1）求x＞0时，f（x）的解析式
（2）求不等式f（x）＞0的解集．
分析：（1）设x＞0时，则-x＜0．由已知当x≤0时，f（x）=x（1+x），即可得出f（-x）=-x（1-x）．再利用函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（x）=-f（-x）．
（2）分类讨论①当x≤0时，由f（x）=x（1+x）＞0，解得即可；②当x＞0时，由f（x）=x（1-x）＞0，解出即可．
（2）分类讨论①当x≤0时，由f（x）=x（1+x）＞0，解得即可；②当x＞0时，由f（x）=x（1-x）＞0，解出即可．
解答：解：（1）设x＞0时，则-x＜0．由已知当x≤0时，f（x）=x（1+x），∴f（-x）=-x（1-x）．
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-[-x（1-x）]=x（x-1）．
（2）①当x≤0时，由f（x）=x（1+x）＞0，解得x＞0或x＜-1，又x≤0，
∴x＜-1，此时不等式f（x）＞0的解集为（-∞，-1）．
②当x＞0时，由f（x）=x（1-x）＞0，化为x（x-1）＜0，解得1＞x＞0，此时不等式f（x）＞0的解集为（0，1）．
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（x）=-f（-x）=-[-x（1-x）]=x（x-1）．
（2）①当x≤0时，由f（x）=x（1+x）＞0，解得x＞0或x＜-1，又x≤0，
∴x＜-1，此时不等式f（x）＞0的解集为（-∞，-1）．
②当x＞0时，由f（x）=x（1-x）＞0，化为x（x-1）＜0，解得1＞x＞0，此时不等式f（x）＞0的解集为（0，1）．
点评：本题考查了函数的奇偶性、一元二次不等式解法，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=x+