Question

【题目】设实数满足不等式函数无极值点．

（1）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围；

（2）已知“”为真命题，并记为，且，若是的必要不充分条件，求正整数的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：由，得；函数无极值点，恒成立，得，解得．（1）“”为假命题，“”为真命题，则与只有一个命题是真命题，分成真假和假真两类来求的取值范围；（2）“”为真命题，两个都是真命题，所以．将因式分解得，解得或，，是的必要不充分条件得，解得，所以．

试题解析：

由，得，即．．．．．．．．．．．．．．．．1分

∵函数无极值点，∴恒成立，得，解得，

即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

（1）∵“”为假命题，“”为真命题，∴与只有一个命题是真命题．

若为真命题，为假命题，则；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

若为真命题，为假命题，则．．．．．．．．．．．．．．6分

于是，实数的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

（2）∵“”为真命题，∴．．．．．．．．．．．．．．8分

又，

∴，

∴或，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

即或，从而，

∵是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件，

∴，解得，∵，∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分