Question

有6本不同的书．

(1)分给甲、乙、丙三人，如果每人得2本有多少种方法?

(2)分给甲、乙、丙三人，如果甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法?

(3)分给甲、乙、丙三人，如果1人得1本，1人得2本，一人得3本，有多少种分法?

(4)分成三堆，其中一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种分法?

(5)平均分成三堆，有多少种分法?

(6)分成四堆，其中2堆各1本，2堆各2本，有多少种分法?

(7)分给4人。其中2人各1本，2人各2本，有多少种分法?

 

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)甲先取2本有种方法，乙再从余下的4本书中取2本有种方法，丙取最后2本书有种方法，因此总共有··＝90种方法． 同（1）有··＝６0种方法． (3)三人中没有指明谁是甲、乙、丙，而三人中谁是甲、乙、丙可有种方法，所以共有···＝３６０种分法． (4)同(2)有··＝６0种方法． (5)同(2)有··种分法，下面对其正确性进行研究：设a，b，c，d，e，f六本书，则中有可能为a、b，可能为c、d，可能为e、f，即有一分堆方法：a、b，f、d，f；同时中也有可能为c、d，中可能为e、f，可能为a、b，显然这种分组方法同上，故··种方法中有重复，应剔除．注意到a、b、c、d，e、f，的所有排列只对应一种分堆方法，故分堆方法应为种方法． 本题还可用下面的方法处理： 设每堆2本的分法为x．分给甲、乙、丙每人两本，则可分步进行，先平均分成3堆，有x种方法，再将3堆不同的书送给3位同学，有种方法．所以x·＝··，∴x=15． (6)同(5)，有种方法． (7)同(5)(6)有种方法． 点评：(1)以“书”为主元素比以“人”为主元素考虑要方便． (2)平均分组应防止重复． (3)平均(部分均匀)分成m组，则需除以，若有序，则再乘以全排列． (4)复杂问题(如(7))可先组合(分组)后排序．