Question

如图，在棱长为 的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中， E、F、G分别是CB．CD．CC₁的中点．

  

（1）求直线 A₁C与平面ABCD所成角的正弦的值；

   （2）求证：平面A B₁D₁∥平面EFG；

   （3）求证：平面AA₁C⊥面EFG ．

Answer 1

解：

 

（1）∵A ₁C平面ABCD=C，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中A₁A⊥平面ABCD      

∴AC为A₁C在平面ABCD的射影

∴∠A₁CA为A₁C与平面ABCD所成角

正方体的棱长为    ∴AC=，=

   

（2）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中  连接BD，则DD₁∥BB₁，DD₁ = BB₁ ，

∴D₁DBB₁为平行四边形   

∴D₁B₁∥DB

∵E，F分别为BC，CD的中点   

∴EF∥BD     ∴EF∥D₁B₁ 

∵EF平面GEF，   D₁B₁平面GEF     

∴D₁B₁∥平面GEF  

同理∥平面GEF  

 ∵D₁B₁∩AB₁ = B₁ 

∴平面A B₁D₁∥平面EFG     

（3）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中     AA₁⊥平面ABCD

 ∵ EF平面ABCD    

 ∴ AA₁⊥EF 

 ∵ABCD为正方形  

∴ACBD    

∵EF∥BD       

∴AC EF

AA₁ ∩AC = A  

∴EF平面AA₁C   

 ∵EF平面EFG

∴平面AA₁C⊥面EFG ．