Question

【题目】已知函数f（x）=lg（ax2+ax+2）（a∈R）．
（1）若a=﹣1，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：当a=﹣1时，f（x）=lg（﹣x2﹣x+2），

由﹣x2﹣x+2＞0，即x2+x﹣2＜0，解得：﹣2＜x＜1，

所以函数f（x）的定义域为（﹣2，1）；

设t（x）=﹣x2﹣x+2，x∈（﹣2，1），

则y=lgt在t∈（0，+∞）为增函数．

由复合函数的单调性，

f（x）的单调区间与t（x）=﹣x2﹣x+2，x∈（﹣2，1）的单调区间一致．

二次函数t（x）=﹣x2﹣x+2，x∈（﹣2，1）的对称轴为

所以t（x）在 单调递增，在 单调递减．

所以f（x）的单调增区间为 ，单调减区间为

（2）

解：当a=0时，f（x）=lg2为常数函数，定义域为R，满足条件．

当a≠0时，f（x）的定义域为R等价于ax2+ax+2＞0恒成立．

于是有 ，解得：0＜a＜8

综上所述，实数a的取值范围是0≤a＜8

【解析】（1）将a=﹣1代入f（x），求出f（x）的定义域，结合二次函数的单调性，求出复合函数的单调区间即可；（2））f（x）的定义域为R等价于ax2+ax+2＞0恒成立，根据二次函数的性质求出a的范围即可．
【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能得出正确答案．