Question

定义：若数列对任意，满足（为常数），称数列为等差比数列.
(1)若数列前项和满足，求的通项公式，并判断该数列是否为等差比数列；
(2)若数列为等差数列，试判断是否一定为等差比数列，并说明理由；
(3)若数列为等差比数列，定义中常数，数列的前项和为， 求证：.

Answer 1

（1）数列是首项为3，公比为的等比数列
（2）当时，数列是等差比数列；  
当时，数列是常数列，数列不是等差比数列..
（3）

试题分析：解：（1）当时，，则
当时，，则
数列是首项为3，公比为的等比数列，

数列是等差比数列。
设等差数列的公差为，则,
当时，数列是等差比数列；  
当时，数列是常数列，数列不是等差比数列.
由 
知数列是以2为首项，2为公比的等比数列.
 ,

 ,   
   ①
①得      ②
①②得
 
点评：解决的关键是根据数列的递推关系来得到通项公式以及错位相减法求和，属于基础题。