Question

15．函数y=cosx-cos2x，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的图象大致为（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 判断函数的对称性，极值点的个数，计算函数的最值，从而得出答案．

解答 解：显然=cosx-cos2x是偶函数，图象关于y轴对称，排除A；
y=cosx-（2cos²x-1）=-2cos²x+cosx+1=-2（cosx-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{8}$，
∵x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，∴0≤cosx≤1，
∴当cosx=1，y取得最小值0，排除C；
y′=-sinx+2sin2x=4sinxcosx-sinx=sinx（4cosx-1），
令y′=0得sinx=0或cosx=$\frac{1}{4}$，而cosx=$\frac{1}{4}$在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上有两解，
sinx=0在（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）上有一解，
∴y=cosx-cos2x在[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]上有三个极值点，排除D；
故选B．

点评 本题考查了三角函数恒等变换，函数对称性与最值的计算，属于中档题．