Question

设

a

=（sinx，3cosx），

b

=（sinx+2cosx，cosx），

c

=（0，-1），
（1）记f（x）=

a

•

b

，求f（x）的最小正周期；
（2）把f（x）的图象沿x轴向右平移

π

8

个单位，再把所得图象上每一点的纵坐标不变，横坐标变为原来的

1

ω

倍（ω＞0）得到函数y=F（x）的图象，若y=F（x）在[0，

π

4

]上为增函数，求ω的最大值；
（3）记g（x）=|

a

+

c

|2，当x∈[0，

π

3

]时，g（x）+m＞0恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

分析：解：（1）根据平面向量的数量积进行运算，再根据三角函数的运算化成一角一函数的形式．
（2）根据三角函数的平移变换，求得F（x）；由y=F（x）在[0，

π

4

]上为增函数，得

π

4

≤

π

4ω

，ω≤1
（3）求出g（x），换元，看成一元二次函数，再根据一元二次函数的单调性进行求解．

解答：解：f（x）=sinx（sinx+2cosx）+3cos²x=sin²x+2sinxcosx+3cos²x=sin2x+2cos²x+1=

2

sin（2x+

π

4

）+2      …3
（1）周期T=π    …4′
（2）F(x)=

2

sin2ωx+2，

π

4

≤

π

4ω

，ω≤1…10
（3）g（x）=sin²x+（3cosx-1）²=8cos²x-6cosx+2
设cosx=t，t∈[

1

2

，1]∴p（t）=8t²-6t+λ²+2
p（t）在[

1

2

，1]上为增函数∴p_min（t）=p（

1

2

）=1，m+1＞0，m＞-1…16

点评：本题考查了数量积的运算，三角函数的图象变换，以及一元二次函数的性质，是综合类的题目，应该熟练灵活掌握．