Question

如图所示，四面体ABCD中，AB⊥BD、AC⊥CD且AD =3．BD=CD=2．

（1）求证：AD⊥BC；

（2）求二面角B—AC—D的余弦值．

 

Answer 1

【答案】

（1）构造向量证明（2）

【解析】

试题分析：（1）证明　作AH⊥平面BCD于H，连接BH、CH、DH，

易知四边形BHCD是正方形，且AH＝1，以D为原

点，以DB所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，

以垂直于DB，的直线为z轴，建立空间直角坐

标系，如图所示，则B(2,0,0)，C(0,2,0)，A(2,2,1)，   

所以＝，＝，  

因此·＝，所以AD⊥BC.       

（2）解：设平面ABC的法向量为n₁＝(x，y，z)，则由n₁⊥知：n₁·＝

同理由n₁⊥知：n₁·＝，

可取n₁＝，

同理，可求得平面ACD的一个法向量为       

∴〈n₁，n₂〉＝＝

即二面角B—AC—D的余弦值为   

考点：用空间向量求平面间的夹角直线与直线垂直的判定

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定方法，正确运用向量法解决面面角问题．