Question

（2009•河东区二模）如图所示，四面体ABCD中，O、E分别是BD和BC的中点，且AB=AD=

2

，AC=BC=CD=BD=2
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求三棱锥E-ACD的体积．

Answer 1

分析：（1）要证AO⊥平面BCD，只要证明AO垂直于平面BCD内的两条相交直线即可，由等腰三角形知识得到
AO⊥BD，再由边的关系结合勾股定理得到AO⊥OC，则问题得到证明；
（2）首先求出△CDE的面积，再利用等积法求三棱锥E-ACD的体积．

解答：（1）证明：在△ABD中，AB=AD，O为BD中点，∴AO⊥BD，
又AB=AD=

2

，BD=2，∴AB²+AD²=BD²

∴∠BAD=90°，△ABD为Rt△，且有AO=

BD

2

=1
又在等边△BDC中，OC=

3

，AC=2，
∴AC²=AO²+OC²∴∠AOC=90°，∴AO⊥OC
∵OC∩BD=O，∴AO⊥平面BCD；
（2）∵S△CDE=

1

2

DE•EC=

1

2

•

3

•1=

3

2

∴VE-ACD=VA-CDE=

1

2

S△CDE•OA=

1

3

•

3

2

•1=

3

6

．

点评：本题考查了直线与平面垂直的判定，考查了等积法求多面体的体积，考查了学生的空间想象能力，是中档题．