Question

设函数

（Ⅰ）证明其中为k为整数

（Ⅱ）设为的一个极值点，证明

（Ⅲ）设在（0,+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为，证明：

Answer 1

（Ⅰ）同解析；（Ⅱ）同解析；（Ⅲ）同解析。

解析:

（I）由于函数定义，对任意整数，有

（II）函数在R上可导，  ①

令，得：

若，则，这与矛盾，所以。

当时，  ②

由于函数的图象和函数的图象知，有解。

当时，

（II）证明：由函数的图象和函数的图象知，对于任意整数，在开区间（，）内方程只有一个根，

当时，，当时，

而在区间（，）内，要么恒正，要么恒负

因此时的符号与时的符号相反

综合以上，得：的每一个根都是的极值点 ③

由得，当时，，即对于时， ④

综合 ③、④ ：对于任意 ，

由：和，得：  ⑤

又：，

但时， ⑥

综合 ⑤、⑥ 得：